Задача
GEO-B2-M01-P010 Внешний угол циклического четырёхугольника
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В циклическом четырёхугольнике \(ABCD\) прямые \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что \(\angle APB\equiv\angle DAB+\angle ABC\pmod{180^\circ}\).
Запишите угол между прямыми \(AD\) и \(BC\) как разность углов, измеренных от прямой \(AB\).
Угол \(\angle APB\) — это ориентированный угол между прямыми \(AD\) и \(BC\). Повернёмся от \(AD\) к \(AB\), а затем от \(AB\) к \(BC\). Получаем \(\angle(APB)\equiv\angle(AD,AB)+\angle(AB,BC)\). Но \(\angle(AD,AB)=\angle DAB\), а \(\angle(AB,BC)\equiv\angle ABC\pmod{180^\circ}\). Следовательно, \(\angle APB\equiv\angle DAB+\angle ABC\pmod{180^\circ}\).
Задача тренирует именно алгебру ориентированных углов, а не новый факт об окружности.