Задача
GEO-B2-M01-P018 Касательная пересекает сторону
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Касательная к описанной окружности треугольника \(ABC\) в точке \(A\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(T\). Докажите, что \(\triangle TAB\sim\triangle TCA\).
Два угла получаются из теоремы о касательной и хорде, а ещё два — из того, что \(T,B,C\) коллинеарны.
По теореме о касательной и хорде \(\angle TAB\equiv\angle ACB\). Так как \(T,C,B\) лежат на одной прямой, \(\angle ACB=\angle TCA\). Значит \(\angle TAB=\angle TCA\). Аналогично \(\angle TAC\equiv\angle ABC=\angle TBA\). Поэтому \(\triangle TAB\sim\triangle TCA\).
Задача выглядит как подобие, но ключ к нему — касательная и хорда.