Задача
GEO-B2-M01-P017 Циклическая трапеция
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), и точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности. Докажите, что \(AB=CD\).
Сравните углы при основании \(BC\), используя параллельность и сумму противоположных углов циклического четырёхугольника.
Так как \(AD\parallel BC\), углы \(\angle DAB\) и \(\angle ABC\) в сумме дают \(180^\circ\). Так как \(ABCD\) циклический, \(\angle DAB+\angle DCB=180^\circ\). Следовательно, \(\angle ABC=\angle DCB\). В трапеции равенство углов при одном основании означает равенство боковых сторон: например, можно опустить высоты из \(A\) и \(D\) на \(BC\) и получить два равных прямоугольных треугольника. Значит \(AB=CD\).
Не школьное свойство для запоминания, а доказательство через две угловые причины.