Задача
GEO-B2-M01-P021 Обратная теорема Рейма
Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Прямая через \(A\) пересекает первую окружность ещё в \(C\), вторую ещё в \(D\). Точка \(E\) лежит на первой окружности, точка \(F\) лежит на второй. Известно, что \(CE\parallel DF\). Докажите, что точки \(E,B,F\) лежат на одной прямой.
Через цикличность выразите углы \(\angle(CE,EB)\) и \(\angle(DF,FB)\), затем используйте \(CE\parallel DF\).
Так как \(A,B,C,E\) цикличны, \(\angle(CE,EB)\equiv\angle(CA,AB)\). Так как \(A,B,D,F\) цикличны, \(\angle(DF,FB)\equiv\angle(DA,AB)\). Но \(C,A,D\) лежат на одной прямой, поэтому правые части равны. Следовательно, \(\angle(CE,EB)\equiv\angle(DF,FB)\). Так как \(CE\parallel DF\), получаем \(\angle(DF,EB)\equiv\angle(DF,FB)\), значит \(EB\parallel FB\). Обе прямые проходят через \(B\), следовательно, \(E,B,F\) коллинеарны.
Сильная задача: ученик должен развернуть доказательство теоремы Рейма в обратную сторону.