Задача
GEO-B2-M01-P023 Две касательные в одной точке
В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на \(BC\). К окружностям \((ABD)\) и \((ACD)\) в точке \(D\) проведены касательные. Известно, что эти касательные перпендикулярны. Докажите, что \(\angle BAC=90^\circ\).
Используйте факт: угол между окружностями \((ABD)\) и \((ACD)\) в точке \(D\) равен \(\angle BAC\).
Угол между двумя окружностями в точке \(D\) — это угол между их касательными в этой точке. По уже доказанному угловому факту для точки \(D\in BC\), угол между окружностями \((ABD)\) и \((ACD)\) равен \(\angle BAC\) в ориентированной записи. По условию касательные перпендикулярны, значит этот угол равен \(90^\circ\). Следовательно, \(\angle BAC=90^\circ\).
Короткая сильная задача: она проверяет, умеет ли ученик использовать промежуточный факт как инструмент.