Задача
GEO-B2-M01-P024 Две параллельные касательные в малых окружностях
В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). К окружности \((ABD)\) в точке \(D\) проведена касательная, параллельная \(AC\). К окружности \((ACD)\) в точке \(D\) проведена касательная, параллельная \(AB\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равносторонний.
Первая касательная даёт \(\angle A=\angle C\), вторая — \(\angle A=\angle B\).
Для окружности \((ABD)\) угол между касательной в \(D\) и хордой \(DB\) равен \(\angle DAB=\angle BAC\). Но эта касательная параллельна \(AC\), а \(DB\) лежит на \(BC\), поэтому тот же угол равен \(\angle ACB\). Значит \(\angle A=\angle C\).
Для окружности \((ACD)\) угол между касательной в \(D\) и хордой \(DC\) равен \(\angle DAC=\angle BAC\). Эта касательная параллельна \(AB\), а \(DC\) лежит на \(BC\), поэтому тот же угол равен \(\angle ABC\). Значит \(\angle A=\angle B\). Итак, \(\angle A=\angle B=\angle C\), следовательно, треугольник \(ABC\) равносторонний.
Финальная задача модуля: два независимых применения теоремы о касательной и хорде в малых окружностях.