GEO-B2-M01-P082 Отражения ортоцентра

C. Подсказка 1. Вспомните, чему равен угол \(\angle AHB\).

D. Подсказка 2. Отражение относительно \(AB\) переводит угол \(\angle AHB\) в угол \(\angle AH_bB\).

E. Подробное решение. Для ортоцентра в остроугольном треугольнике известно, что \(\angle AHB=180^\circ-\angle ACB\).

При отражении относительно прямой \(AB\) точки \(A\) и \(B\) остаются на месте, а \(H\) переходит в \(H_b\). Поэтому \(\angle AH_bB=\angle AHB=180^\circ-\angle ACB\).

Это означает, что противоположные углы четырёхугольника \(A,B,C,H_b\) дополняют друг друга до \(180^\circ\). Следовательно, \(A,B,C,H_b\) вписаны, и \(H_b\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\).

Точно так же, отражая \(H\) относительно \(AC\), получаем \(H_c\) на той же описанной окружности.

Поскольку точки \(B,C,H_b,H_c\) лежат на одной окружности — именно на описанной окружности треугольника \(ABC\), четырёхугольник \(B,C,H_c,H_b\) является вписанным.

Комментарий к методу. отражение сохраняет угол с осью отражения, а угол при ортоцентре дополняет угол треугольника Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.

Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.

F. Обоснование сложности. Это уровень 7: сильная региональная задача. В ней есть не только равные углы, но и выбор вспомогательной конфигурации: окружность, точка Микеля, ортотреугольник или касательная. Без этого первого выбора решение не начинается.

G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 3 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.