Задача
GEO-B2-M01-P083 Диагонали вписанного четырёхугольника
В выпуклом вписанном четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\). Известно, что \(AB=8\), \(CD=13\), \(PD=65\). Докажите, что \(\triangle PAB\sim\triangle PDC\), и найдите \(PA\).
C. Подсказка 1. Не начинайте с произведений отрезков; сначала найдите подобие.
D. Подсказка 2. Сравните \(\angle PAB\) с \(\angle PDC\), а \(\angle PBA\) с \(\angle PCD\).
E. Подробное решение. Так как \(P,A,C\) коллинеарны, \(\angle PAB=\angle CAB\). Так как \(P,D,B\) коллинеарны, \(\angle PDC=\angle CDB\).
Углы \(\angle CAB\) и \(\angle CDB\) — вписанные и опираются на одну хорду \(CB\), поэтому они равны. Значит, \(\angle PAB=\angle PDC\).
Аналогично \(\angle PBA=\angle DBA\), \(\angle PCD=\angle DCA\), а вписанные углы \(\angle DBA\) и \(\angle DCA\) опираются на хорду \(DA\). Поэтому \(\angle PBA=\angle PCD\).
По двум углам \(\triangle PAB\sim\triangle PDC\). Из соответствия сторон получаем \(\frac{PA}{PD}=\frac{AB}{CD}\). Тогда \(PA=65\cdot\frac{8}{13}=40\).
Комментарий к методу. равные вписанные углы превращают треугольники \(PAB\) и \(PDC\) в подобные Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.
Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача среднего типа. Один прямой перебор углов быстро перегружает рисунок, поэтому нужно увидеть скрытую окружность или заменить угол через касательную; после этого остаётся короткая цепочка равенств.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 3 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.