Задача
GEO-B2-M01-P128 Касательная и направленное отношение
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=11\), \(AC=18\). Касательная к описанной окружности в точке \(A\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(T\). Найдите отношение \(TB:TC\) в направленных отрезках.
C. Подсказка 1. Угол между касательной и \(AB\) замените углом \(ACB\).
D. Подсказка 2. После теоремы синусов появится квадрат отношения \(AB:AC\).
E. Подробное решение. По теореме о касательной и хорде \(\angle TAB=\angle ACB\), а \(\angle TAC=\angle ABC\). Эти две замены являются главным шагом задачи.
Применим теорему синусов в треугольниках \(TAB\) и \(TAC\). Учитывая, что углы при точке \(T\) дополняют друг друга до \(180^\circ\) как углы с прямой \(BC\), после деления соответствующих равенств получаем \(\frac{TB}{TC}=\frac{\sin^2\angle ACB}{\sin^2\angle ABC}\).
В треугольнике \(ABC\) по теореме синусов \(\frac{AB}{AC}=\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle ABC}\). Поэтому \(\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{121}{324}\). Следовательно, \(TB:TC=121:324\) в направленных отрезках.
Комментарий к методу. касательная заменяет углы при \(T\) на углы исходного треугольника, после чего работает теорема синусов Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.
Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача среднего типа. Один прямой перебор углов быстро перегружает рисунок, поэтому нужно увидеть скрытую окружность или заменить угол через касательную; после этого остаётся короткая цепочка равенств.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 4 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.