Задача
GEO-B2-M01-P129 Параллель к касательной
Треугольник \(ABC\) вписан в окружность \(\Omega\). Касательная к \(\Omega\) в точке \(A\) параллельна прямой, проходящей через \(B\) и пересекающей \(AC\) в точке \(D\). Докажите, что \(AB^2=AC\cdot AD\).
C. Подсказка 1. Замените угол между касательной и \(AB\) углом \(ACB\).
D. Подсказка 2. После параллельности найдите два равных угла в треугольниках \(ABD\) и \(ACB\).
E. Подробное решение. Пусть \(l\) — касательная к \(\Omega\) в точке \(A\). По условию \(BD\parallel l\).
По теореме о касательной и хорде угол между \(l\) и \(AB\) равен \(\angle ACB\). Так как \(BD\parallel l\), получаем \(\angle ABD=\angle ACB\).
Кроме того, \(D\in AC\), поэтому \(\angle BAD=\angle BAC\). Значит, \(\triangle ABD\sim\triangle ACB\) по двум углам.
Из подобия следует \(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\). Перемножая, получаем \(AB^2=AC\cdot AD\), что и требовалось доказать.
Комментарий к методу. параллельная касательной переносит теорему о касательной и хорде внутрь треугольника Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.
Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача среднего типа. Один прямой перебор углов быстро перегружает рисунок, поэтому нужно увидеть скрытую окружность или заменить угол через касательную; после этого остаётся короткая цепочка равенств.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 3 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.