Задача
GEO-B2-M02-P005 Доказать формулу секущих
Из точки \(P\), лежащей вне окружности, проведены секущие \(PAB\) и \(PCD\), где \(A\) и \(C\) — ближние точки. Докажите, что \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
Соедините \(A\) с \(C\) и \(B\) с \(D\), затем сравните \(\triangle PAC\) и \(\triangle PDB\).
Соединим \(A\) с \(C\), а \(B\) с \(D\). Рассмотрим треугольники \(PAC\) и \(PDB\). Угол при \(P\) у них общий, потому что \(P,A,B\) и \(P,C,D\) коллинеарны. Кроме того, \(\angle PAC=\angle BAC\), \(\angle PDB=\angle CDB\), а углы \(\angle BAC\) и \(\angle CDB\) равны как вписанные, опирающиеся на хорду \(BC\). Поэтому \(\triangle PAC\sim\triangle PDB\). Из подобия \(\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}\), значит \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
Ученик должен понимать происхождение формулы, а не только подставлять числа.