Задача
GEO-B2-M02-P022 Место равных степеней
#22
★★★★★ Уровень 5 из 5
Даны две окружности с центрами \(O_1,O_2\) и радиусами \(r_1,r_2\). Точки \(X\) и \(Y\) имеют равные степени относительно этих окружностей. Докажите, что прямая \(XY\) перпендикулярна \(O_1O_2\), если \(X\ne Y\).
Запишите степень точки \(X\) как \(XO_1^2-r_1^2\) и \(XO_2^2-r_2^2\).
Равенство степеней для точки \(X\) даёт \(XO_1^2-r_1^2=XO_2^2-r_2^2\), то есть \(XO_1^2-XO_2^2=r_1^2-r_2^2\). Такое же равенство выполняется для точки \(Y\). Значит точки \(X\) и \(Y\) имеют одинаковую разность квадратов расстояний до \(O_1\) и \(O_2\). Множество таких точек — прямая, перпендикулярная \(O_1O_2\). Следовательно, \(XY\perp O_1O_2\).
Это preview радикальной оси; в следующем модуле можно вернуться и дать полное название.