Задача
GEO-B2-M02-P021 Касательная и симмедианное отношение
#21
★★★★★ Уровень 5 из 5
Касательная к описанной окружности треугольника \(ABC\) в точке \(A\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(T\), причём \(T\) лежит вне отрезка \(BC\). Докажите, что \(TB:TC=AB^2:AC^2\), а затем найдите \(TB:TC\), если \(AB=9\), \(AC=6\).
Сначала докажите общее отношение, затем подставьте длины.
По доказанному в задачах выше результату для касательной к описанной окружности \(\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}\). Для полноты: это следует из подобия \(\triangle TAB\sim\triangle TCA\), полученного по теореме о касательной и хорде. При \(AB=9\), \(AC=6\) получаем \(TB:TC=9^2:6^2=81:36=9:4\).
Это сильная олимпиадная лемма; термин “симмедиана” можно назвать устно, но не перегружать теорию.