Задача
GEO-B2-M03-P001 Общая хорда как радикальная ось
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Докажите, что их радикальная ось — прямая \(AB\).
Возьмите точку \(X\) на \(AB\) и запишите её степень через произведение \(XA\cdot XB\).
Для любой точки \(X\) на прямой \(AB\) секущая \(XAB\) пересекает обе окружности в одних и тех же точках \(A\) и \(B\). Поэтому степень \(X\) относительно каждой окружности равна \(XA\cdot XB\). Значит степени равны, и \(AB\) является радикальной осью.
Базовая задача: общая хорда должна мгновенно распознаваться как радикальная ось.