Задача
GEO-B2-M03-P002 Касающиеся окружности
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Две окружности касаются в точке \(A\). Докажите, что их общая касательная в точке \(A\) является радикальной осью этих окружностей.
Для точки \(X\) на общей касательной степень к каждой окружности равна \(XA^2\).
Пусть \(X\) лежит на общей касательной в \(A\). Относительно первой окружности \(XA\) — касательная, поэтому степень равна \(XA^2\). Относительно второй окружности \(XA\) тоже касательная, поэтому степень снова равна \(XA^2\). Значит степени равны для всех точек этой прямой.
Важное расширение: радикальная ось есть и у касающихся окружностей.