Задача
GEO-B2-M03-P015 Центр ортогональной окружности
#15
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Окружность \(\gamma\) с центром \(X\) и радиусом \(\rho\) ортогональна двум окружностям \(\omega_1(O_1,r_1)\) и \(\omega_2(O_2,r_2)\). Докажите, что \(X\) лежит на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_2\).
Для ортогональных окружностей выполнено \(XO_i^2= ho^2+r_i^2\).
Из ортогональности \(\gamma\) и \(\omega_1\) получаем \(XO_1^2= ho^2+r_1^2\), значит \(XO_1^2-r_1^2= ho^2\). Аналогично \(XO_2^2-r_2^2= ho^2\). Следовательно, степени точки \(X\) относительно \(\omega_1\) и \(\omega_2\) равны, и \(X\) лежит на радикальной оси.
Это уже более сильная идея: радикальная ось появляется через ортогональность окружностей.