Задача
GEO-B2-M03-P021 Произведения через радикальный центр
#21
★★★★★ Уровень 5 из 5
Три окружности имеют радикальный центр \(R\). Через \(R\) проведены произвольные секущие к этим окружностям: они пересекают \(\omega_1\) в \(A_1,B_1\), \(\omega_2\) в \(A_2,B_2\), \(\omega_3\) в \(A_3,B_3\). Докажите, что \(RA_1\cdot RB_1=RA_2\cdot RB_2=RA_3\cdot RB_3\).
В радикальном центре степени относительно всех трёх окружностей равны.
Так как \(R\) — радикальный центр, его степени относительно \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) равны. Для каждой окружности степень точки \(R\) равна произведению отрезков любой секущей через \(R\): \(RA_i\cdot RB_i\). Поэтому все три произведения равны.
Сильная задача на понимание: радикальный центр не зависит от выбранных секущих.