Задача
GEO-B2-M03-P020 Две касательные радикального центра
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) касаются в точке \(A\), а \(\omega_2\) и \(\omega_3\) касаются в точке \(B\). Общие касательные в точках \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(R\). Докажите, что \(R\) лежит на радикальной оси окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_3\).
Общая касательная в точке касания — радикальная ось соответствующих двух окружностей.
Общая касательная в \(A\) является радикальной осью \(\omega_1\) и \(\omega_2\), значит \(R\) лежит на этой оси. Общая касательная в \(B\) является радикальной осью \(\omega_2\) и \(\omega_3\), значит \(R\) лежит и на ней. По теореме о радикальном центре \(R\) лежит на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_3\).
Красивая задача: радикальные оси не обязательно являются общими хордами.