Задача
GEO-B2-M03-P024 Ортогональная окружность и радикальный центр
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Окружность \(\gamma\) с центром \(X\) ортогональна трём окружностям \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\). Докажите, что \(X\) является радикальным центром этих трёх окружностей.
Степень центра \(X\) относительно каждой из трёх окружностей равна квадрату радиуса \(\gamma\).
Пусть радиус \(\gamma\) равен \(\rho\). Если \(\gamma\) ортогональна \(\omega_i(O_i,r_i)\), то \(XO_i^2= ho^2+r_i^2\), откуда \(XO_i^2-r_i^2= ho^2\). Значит степени точки \(X\) относительно всех трёх окружностей равны. Поэтому \(X\) лежит на каждой попарной радикальной оси, то есть является радикальным центром.
Финальная задача связывает радикальную ось, радикальный центр и ортогональные окружности.