Задача
GEO-B2-M04-P003 Касающиеся окружности
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Две окружности внешне касаются в точке \(T\). Их центры \(O_1\) и \(O_2\), радиусы равны \(3\) и \(7\). Докажите, что \(T\) является центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую, и найдите отношение \(TO_1:TO_2\).
Точка касания лежит на линии центров, а расстояния до центров равны радиусам.
При внешнем касании точки \(O_1,T,O_2\) коллинеарны, причём \(TO_1=3\), \(TO_2=7\). Гомотетия с центром \(T\) и коэффициентом \(-\frac{7}{3}\) переводит центр \(O_1\) в \(O_2\) и окружность радиуса \(3\) в окружность радиуса \(7\). Следовательно, \(T\) является центром такой гомотетии, а \(TO_1:TO_2=3:7\).
Можно отдельно обсудить знак коэффициента при внешнем касании.