Задача
GEO-B2-M04-P002 Центр между двумя параллельными отрезками
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AB \parallel CD\). Докажите, что \(O\) является центром гомотетии, переводящей отрезок \(AB\) в отрезок \(CD\).
Докажите подобие треугольников \(OAB\) и \(OCD\).
Так как \(AB \parallel CD\), имеем \(\angle OAB=\angle OCD\) и \(\angle OBA=\angle ODC\). Следовательно, \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\). Отсюда \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\). Точки \(A,C,O\) и \(B,D,O\) лежат на соответствующих прямых, значит, гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{OC}{OA}\) переводит \(A\) в \(C\), \(B\) в \(D\), а \(AB\) в \(CD\).
Задача фиксирует прямой критерий гомотетии для двух отрезков.