Задача
GEO-B2-M04-P011 Середины и одна прямая
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\) и \(E\) - середины сторон \(AB\) и \(AC\), а \(M\) - середина \(BC\). Докажите, что середина отрезка \(DE\) лежит на прямой \(AM\).
Рассмотрите гомотетию с центром \(A\) и коэффициентом \(\frac{1}{2}\).
Гомотетия с центром \(A\) и коэффициентом \(\frac{1}{2}\) переводит \(B\) в \(D\), \(C\) в \(E\), а отрезок \(BC\) в \(DE\). Середина отрезка при гомотетии переходит в середину образа. Поэтому середина \(M\) отрезка \(BC\) переходит в середину \(N\) отрезка \(DE\). Точка, её образ и центр гомотетии коллинеарны, значит, \(A,M,N\) лежат на одной прямой.
Задача показывает, что гомотетия работает не только с вершинами, но и со всеми точками отрезка.