Задача
GEO-B2-M04-P010 Один поворот и один коэффициент
Пусть \(\angle APB=\angle CPD\) и \(\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}\). Докажите, что \(P\) является центром спирального подобия, переводящего \(A\) в \(B\) и \(C\) в \(D\).
Поворот вокруг \(P\) должен переводить луч \(PA\) в луч \(PB\), а растяжение должно иметь тот же коэффициент для второй пары.
Повернём плоскость вокруг \(P\) на угол \(\angle APB\), переводя луч \(PA\) в луч \(PB\). Затем применим растяжение с коэффициентом \(\frac{PB}{PA}\). Точка \(A\) перейдёт в \(B\). Так как \(\angle APB=\angle CPD\), тот же поворот переводит луч \(PC\) в луч \(PD\). А из \(\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}\) следует \(\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}\), значит, то же растяжение переводит \(C\) в \(D\). Следовательно, \(P\) - центр спирального подобия.
Важно проговорить, что используется одна и та же композиция поворота и растяжения.