Задача
GEO-B2-M04-P017 Построенная точка и спиральный центр
Даны точки \(A,C,P\). На лучах \(PB\) и \(PD\) построены точки \(B\) и \(D\) так, что \(\angle APB=\angle CPD\) и \(\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}=2\). Докажите, что \(P\) - центр спирального подобия, переводящего \(AC\) в \(BD\).
Сравните поворот лучей и коэффициент растяжения.
Поворот вокруг \(P\) на угол \(\angle APB\) переводит луч \(PA\) в луч \(PB\). По условию тот же угол переводит луч \(PC\) в луч \(PD\). Далее растяжение с центром \(P\) и коэффициентом \(2\) переводит \(A\) в \(B\), потому что \(PB=2PA\), и \(C\) в \(D\), потому что \(PD=2PC\). Следовательно, композиция одного поворота и одного растяжения переводит \(AC\) в \(BD\), то есть \(P\) - центр спирального подобия.
Полезная конструктивная версия критерия спирального подобия.