Задача
GEO-B2-M04-P016 Скрытые равные углы
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Для точки \(P\) выполнено \(\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}\) и \(\angle APC=\angle BPD\). Докажите, что \(\angle PAC=\angle PBD\) и \(\frac{AC}{BD}=\frac{PA}{PB}\).
Сначала докажите подобие \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\).
Стороны \(PA,PC\) и \(PB,PD\) пропорциональны, а углы между ними равны. Следовательно, \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\). Тогда соответствующие углы равны: \(\angle PAC=\angle PBD\). Также из подобия получаем \(\frac{AC}{BD}=\frac{PA}{PB}\).
Типовая задача на извлечение последствий из спирального подобия.