Задача
GEO-B2-M04-P024 Выбор правильного соответствия
Для точки \(P\) известно, что \(\angle APC=\angle BPD\), \(PA=6\), \(PB=9\), \(PC=10\), \(PD=15\). Докажите, что \(P\) является центром спирального подобия, переводящего \(AC\) в \(BD\), и найдите отношение \(AC:BD\).
Проверьте пропорцию \(\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}\), а затем примените подобие.
Имеем \(\frac{PA}{PB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\) и \(\frac{PC}{PD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\). По условию \(\angle APC=\angle BPD\). Значит, \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно, \(P\) является центром спирального подобия, переводящего \(AC\) в \(BD\). Из подобия \(\frac{AC}{BD}=\frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}\), поэтому \(AC:BD=2:3\).
Финальная задача проверяет, умеет ли ученик выбрать правильные пары сторон, а не просто увидеть равные числа.