Задача
GEO-B2-M04-P023 Две параллельные сечения треугольника
В треугольнике \(ABC\) проведены два отрезка \(D_1E_1\) и \(D_2E_2\), параллельные \(BC\), где \(D_1,D_2\) лежат на \(AB\), а \(E_1,E_2\) лежат на \(AC\). Пусть \(M_1\) и \(M_2\) - середины \(D_1E_1\) и \(D_2E_2\), а \(M\) - середина \(BC\). Докажите, что точки \(A,M_1,M_2,M\) лежат на одной прямой.
Каждое параллельное сечение - образ \(BC\) при гомотетии с центром \(A\).
Так как \(D_iE_i \parallel BC\), отрезок \(D_iE_i\) является образом \(BC\) при гомотетии с центром \(A\) и некоторым коэффициентом \(k_i\). При этой гомотетии середина \(M\) отрезка \(BC\) переходит в середину \(M_i\) отрезка \(D_iE_i\). Поэтому точки \(A,M,M_i\) коллинеарны для \(i=1,2\). Значит, \(A,M_1,M_2,M\) лежат на одной прямой.
Хорошая задача на перенос свойства середины через семейство гомотетий.