Задача
GEO-B2-M06-P015 Доказательство Чевы через площади
#15
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть в треугольнике \(ABC\) прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны в точке \(P\). Докажите, что \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\).
Выражайте отношения на сторонах через площади треугольников с общей высотой.
Так как треугольники \(PBD\) и \(PDC\) имеют общую высоту к \(BC\), \(\frac{BD}{DC}=\frac{[PBD]}{[PDC]}\). Аналогично \(\frac{CE}{EA}=\frac{[PCE]}{[PEA]}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{[PAF]}{[PFB]}\). Группируя площади вокруг точки \(P\), получаем телескопическое сокращение, и произведение равно \(1\). Это и есть необходимая часть теоремы Чевы.
Это не просто применение, а понимание происхождения формулы.