Задача
GEO-B2-M06-P018 Одна пара точек, две теоремы
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\). Прямые \(AD\) и \(BE\) пересекаются в \(P\), \(CP\) пересекает \(AB\) в \(F\), а \(DE\) пересекает продолжение \(AB\) в \(X\). Докажите, что \(\frac{AF}{FB}=\frac{AX}{XB}\).
Запишите Чеву для \(D,E,F\) и Менелая для \(D,E,X\).
По Чеве \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). По Менелаю для прямой \(DEX\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). Первые два множителя одинаковы, значит, третьи множители равны: \(\frac{AF}{FB}=\frac{AX}{XB}\).
Сильная задача на одновременное применение двух теорем.