Задача
GEO-B2-M06-P020 Восстановить конкурентность
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\). Прямая \(DE\) пересекает продолжение \(AB\) в \(X\). Точка \(F\in AB\) выбрана так, что \(\frac{AF}{FB}=\frac{AX}{XB}\). Докажите, что \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны.
Сначала примените Менелая к \(D,E,X\), затем замените \(AX:XB\) на \(AF:FB\).
По Менелаю для прямой \(D E X\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). По условию \(\frac{AX}{XB}=\frac{AF}{FB}\), значит, \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). По теореме Чевы прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны.
Задача на вспомогательную точку и переход Менелай -> Чева.