Задача
GEO-B2-M06-P021 Внутренняя и внешняя точки
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\) внутренние. Прямые \(AD\) и \(BE\) пересекаются в \(P\), \(CP\) пересекает \(AB\) в \(F\). Прямая \(DE\) пересекает продолжение \(AB\) в \(X\). Докажите, что \(F\) лежит на отрезке \(AB\), \(X\) лежит вне отрезка \(AB\), и \(\frac{AF}{FB}=\frac{AX}{XB}\).
Используйте Чеву и Менелая, а расположение точек объясните геометрически.
Так как \(D\) и \(E\) внутренние, прямые \(AD\) и \(BE\) пересекаются внутри треугольника, поэтому прямая \(CP\) пересекает сторону \(AB\) во внутренней точке \(F\). Прямая через две внутренние точки \(D\) и \(E\) пересекает третью сторону \(AB\) на продолжении, значит, \(X\) внешняя. По Чеве \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\), а по Менелаю для \(D,E,X\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). Поэтому \(\frac{AF}{FB}=\frac{AX}{XB}\).
Сильная задача на смысл внутренних и внешних делений.