Задача
GEO-B2-M06-P024 Три окружности заменять не нужно
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\) выбраны произвольно. Прямая \(DE\) пересекает продолжение \(AB\) в \(X\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(F\) так, что \(AF:FB=AX:XB\). Докажите, что если \(AD\) и \(BE\) пересекаются в \(P\), то точки \(C,P,F\) коллинеарны.
Менелай даёт произведение для \(D,E,X\), затем Чева даёт конкурентность \(AD,BE,CF\).
По Менелаю для коллинеарных \(D,E,X\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). По условию \(\frac{AX}{XB}=\frac{AF}{FB}\), поэтому \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). По Чеве прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны. Но \(AD\) и \(BE\) уже пересекаются в \(P\), значит, третья прямая \(CF\) тоже проходит через \(P\). Следовательно, \(C,P,F\) коллинеарны.
Сильная заключительная задача: ученик должен сам собрать Менелая и Чеву в правильном порядке.