Задача
GEO-B2-M07-P021 Две чевианы и деление обеих
#21
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(BD:DC=2:5\), \(CE:EA=3:4\). Прямые \(AD\) и \(BE\) пересекаются в \(P\). Найдите \(AP:PD\) и \(BP:PE\).
Сначала восстановите три площади вокруг \(P\).
Пусть \([PAB]=x\), \([PBC]=y\), \([PCA]=z\). Из \(BD:DC=2:5\) имеем \(x:z=2:5\). Из \(CE:EA=3:4\) имеем \(y:x=3:4\). Возьмём \(x=8\), тогда \(z=20\), \(y=6\), всего \(34\). На чевиане \(AD\): \(\frac{PD}{AD}=\frac{[PBC]}{[ABC]}=\frac{6}{34}=\frac{3}{17}\), поэтому \(AP:PD=14:3\). На чевиане \(BE\): \(\frac{PE}{BE}=\frac{[PCA]}{[ABC]}=\frac{20}{34}=\frac{10}{17}\), поэтому \(BP:PE=7:10\).
Сильная вычислительная задача на mass points preview через площади.