Задача
GEO-B2-M07-P022 Восстановить точку пересечения
#22
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) на сторонах выбраны точки \(D,E,F\) так, что \(BD:DC=3:4\), \(CE:EA=2:3\), \(AF:FB=2:1\). Докажите, что чевианы \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны, и найдите отношение \([PAB]:[PBC]:[PCA]\), где \(P\) - точка пересечения.
Сначала проверьте Чеву, затем восстановите площади.
Произведение \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot 2=1\), значит, по Чеве чевианы конкурентны. Пусть \(x=[PAB]\), \(y=[PBC]\), \(z=[PCA]\). Из \(BD:DC=3:4\) получаем \(x:z=3:4\). Из \(CE:EA=2:3\) получаем \(y:x=2:3\). Возьмём \(x=9\), тогда \(z=12\), \(y=6\). Ответ: \([PAB]:[PBC]:[PCA]=9:6:12=3:2:4\).
Задача объединяет Чеву и площадное восстановление.