Задача
GEO-B2-M07-P024 Площади задают все три чевианы
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Внутри треугольника \(ABC\) нужно выбрать точку \(P\) так, чтобы \([PBC]:[PCA]:[PAB]=6:10:15\). Если \(AP\), \(BP\), \(CP\) пересекают стороны в \(D,E,F\), найдите \(BD:DC\), \(CE:EA\), \(AF:FB\), и проверьте, что эти отношения согласованы с Чевой.
Используйте \(S_A=6\), \(S_B=10\), \(S_C=15\).
По формулам \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_C}{S_B}=\frac{15}{10}=3:2\). Далее \(\frac{CE}{EA}=\frac{S_A}{S_C}=\frac{6}{15}=2:5\). Наконец, \(\frac{AF}{FB}=\frac{S_B}{S_A}=\frac{10}{6}=5:3\). Проверка Чевы: \(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{3}=1\), значит, отношения согласованы с конкурентностью чевиан.
Финальная задача переворачивает обычную логику: сначала площади, потом чевианы.