Задача
GEO-B2-M09-P010 Параллелограмм Вариньона
#10
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В произвольном четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(P,Q,R,S\) — середины \(AB,BC,CD,DA\). Докажите, что \(PQRS\) — параллелограмм.
Запишите \(\overrightarrow{PQ}\) и \(\overrightarrow{SR}\) через радиус-векторы вершин.
Пусть радиус-векторы \(A,B,C,D\) равны \(a,b,c,d\). Тогда \(p=\frac{a+b}{2}\), \(q=\frac{b+c}{2}\), \(r=\frac{c+d}{2}\), \(s=\frac{d+a}{2}\). Имеем \(\overrightarrow{PQ}=q-p=\frac{c-a}{2}\) и \(\overrightarrow{SR}=r-s=\frac{c-a}{2}\). Аналогично \(\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PS}\). Значит \(PQRS\) — параллелограмм.
Классический пример, где векторы почти не оставляют работы.