Задача
GEO-B2-M09-P009 Окружность прямоугольного треугольника
#9
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите уравнение окружности, проходящей через \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(0,b)\), и докажите, что её центр — середина \(BC\).
Используйте вид \(x^2+y^2+ux+vy=0\).
Подстановка \(B(a,0)\) даёт \(u=-a\), подстановка \(C(0,b)\) даёт \(v=-b\). Окружность: \(x^2+y^2-ax-by=0\). После выделения квадратов получаем \(\left(x-\frac a2\right)^2+\left(y-\frac b2\right)^2=\frac{a^2+b^2}{4}\). Центр равен \(\left(\frac a2,\frac b2\right)\), то есть середине \(BC\).
Связывает уравнение окружности с геометрическим фактом.