Задача
GEO-B2-M09-P013 Медиана или высота
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(A(-1,0)\), \(B(1,0)\), \(C(u,v)\), где \(v\ne 0\), а \(M\) — середина \(AB\). Докажите, что \(CM\perp AB\) тогда и только тогда, когда \(CA=CB\).
Условие \(CM\perp AB\) означает, что \(CM\) вертикальна. Равенство \(CA=CB\) проверьте через квадраты.
Точка \(M=(0,0)\). Так как \(AB\) горизонтальна, \(CM\perp AB\) тогда и только тогда, когда \(u=0\). С другой стороны, \(CA^2=(u+1)^2+v^2\), \(CB^2=(u-1)^2+v^2\). Равенство этих квадратов также равносильно \(u=0\). Следовательно, условия эквивалентны.
Хорошая задача на доказательство “тогда и только тогда”.