Задача
GEO-B2-M09-P019 Отражение ортоцентра
В треугольнике \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(u,v)\), где \(v\ne 0\), ортоцентр равен \(H\left(u,\frac{u(1-u)}{v}\right)\). Докажите, что точка \(H'\), симметричная \(H\) относительно \(AB\), лежит на окружности \((ABC)\).
Запишите уравнение окружности через \(A,B,C\), затем подставьте координаты отражённой точки.
Окружность через \(A(0,0)\), \(B(1,0)\) имеет вид \(x^2+y^2-x+\lambda y=0\). Подставляя \(C(u,v)\), получаем \(\lambda=\frac{u-u^2-v^2}{v}\). Точка отражения имеет координаты \(H'\left(u,-\frac{u(1-u)}{v}\right)\). Подстановка даёт \(u^2+\frac{u^2(1-u)^2}{v^2}-u-\frac{u(1-u)(u-u^2-v^2)}{v^2}=0\). После сокращения остаётся \(0=0\). Значит \(H'\in(ABC)\).
Алгебра выглядит длиннее, но структура решения очень стандартная: уравнение окружности плюс подстановка.