Задача
GEO-B2-M09-P020 Две высоты и одна окружность
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(u,v)\), \(v\ne 0\), точка \(D\) — основание высоты из \(C\) на \(AB\), а \(E\) — основание высоты из \(B\) на \(AC\). Докажите, что \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.
Достаточно доказать, что \(\angle BDC=\angle BEC=90^\circ\).
Так как \(D\) — основание высоты из \(C\), имеем \(CD\perp DB\), значит \(\angle BDC=90^\circ\). Так как \(E\) — основание высоты из \(B\), имеем \(BE\perp CE\), значит \(\angle BEC=90^\circ\). Следовательно, точки \(D\) и \(E\) лежат на окружности с диаметром \(BC\). Поэтому \(B,C,D,E\) соокружны.
Можно попросить ученика дополнительно найти координаты \(E\) через проекцию на \(AC\).