Задача
GEO-B2-M09-P023 Прямая Ньютона
В четырёхугольнике \(ABCD\) прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в \(E\), а \(AD\) и \(BC\) — в \(F\); предполагается, что эти пересечения конечны. Докажите координатами, что середины отрезков \(AC\), \(BD\), \(EF\) лежат на одной прямой.
Возьмите \(E\) за начало координат, а прямые \(AB\) и \(CD\) — за координатные оси.
Выберем аффинные координаты так, что \(E=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(B=(b,0)\), \(D=(0,d)\), \(C=(0,c)\). Пусть \(F=(r,s)\). Так как \(F\in AD\), имеем \(\frac{r}{a}+\frac{s}{d}=1\), то есть \(rd+as=ad\). Так как \(F\in BC\), имеем \(\frac{r}{b}+\frac{s}{c}=1\), то есть \(rc+bs=bc\). Середины \(AC\), \(BD\), \(EF\) имеют координаты \(\left(\frac a2,\frac c2\right)\), \(\left(\frac b2,\frac d2\right)\), \(\left(\frac r2,\frac s2\right)\). Достаточно доказать, что \((r,s)\) лежит на прямой через \((a,c)\) и \((b,d)\). Уравнение этой прямой даёт выражение \((d-c)r-(b-a)s-a(d-c)+c(b-a)\). Оно равно \((rd+as-ad)-(rc+bs-bc)=0\). Значит три середины коллинеарны.
Сильная задача на аффинные координаты; полезно обсудить, почему оси можно выбирать вдоль двух пересекающихся прямых.