Задача
GEO-B2-M09-P022 Длина хорды по расстоянию до центра
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Окружность \(x^2+y^2=25\) пересекает прямую \(3x+4y=20\) в точках \(A\) и \(B\). Найдите середину \(AB\) и длину \(AB\).
Середина хорды — основание перпендикуляра из центра окружности на прямую.
Центр окружности \(O(0,0)\), радиус \(5\). Основание перпендикуляра из \(O\) на прямую \(3x+4y=20\) равно \(M\left(\frac{3\cdot 20}{3^2+4^2},\frac{4\cdot 20}{3^2+4^2}\right)=\left(\frac{12}{5},\frac{16}{5}\right)\). Расстояние \(OM=4\). Половина хорды равна \(\sqrt{5^2-4^2}=3\), поэтому \(AB=6\).
Хорошо показывает, что координаты и обычная геометрия работают вместе.