Задача
GEO-B2-M10-P005 Отношение из площадей
#5
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Точка \(P\) лежит внутри треугольника \(ABC\). Прямая \(AP\) пересекает \(BC\) в \(D\). Известно, что \([PAB]:[PBC]:[PCA]=2:3:4\). Найдите \(BD:DC\).
Сравните площади \([PAB]\) и \([PCA]\); они дают отношение \(BD:DC\).
Треугольники \(PAB\) и \(PCA\) удобно сравнить по общей базе \(AP\). Их высоты к прямой \(AP\), проведённые из \(B\) и \(C\), относятся как \(BD:DC\), потому что \(B,D,C\) лежат на одной прямой. Значит \(BD:DC=[PAB]:[PCA]=2:4=1:2\).
Если ученику трудно, можно доказать равенство через высоты к прямой \(AP\).