Задача
GEO-B2-M10-P012 Четыре окружности из четырёх прямых
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in AB\), \(E\in AC\), а прямые \(BE\) и \(CD\) пересекаются в \(P\). Докажите, что окружности \((ABE)\), \((ACD)\), \((BDP)\), \((CEP)\) имеют общую точку.
Рассмотрите полный четырёхугольник, образованный прямыми \(AB,AC,BE,CD\).
Четыре прямые \(AB,AC,BE,CD\) образуют полный четырёхугольник. Его четыре окружности как раз равны \((ABE)\), \((ACD)\), \((BDP)\), \((CEP)\). По теореме Микеля они проходят через одну точку.
Это задача на распознавание полного четырёхугольника внутри треугольника.