Задача
GEO-B2-M10-P013 Две касающиеся окружности
Две окружности касаются внешним образом в точке \(T\). Их общая внешняя касательная касается окружностей в точках \(A\) и \(B\). Докажите, что \(\angle ATB=90^\circ\).
Можно выбрать касательную как ось \(Ox\), а центры окружностей поставить в точки \((0,r)\) и \((d,s)\).
Пусть \(A=(0,0)\), \(B=(d,0)\), центры окружностей \(O_1=(0,r)\), \(O_2=(d,s)\). Так как окружности касаются внешним образом, \(O_1O_2=r+s\), поэтому \(d^2+(s-r)^2=(r+s)^2\), откуда \(d^2=4rs\). Точка касания \(T\) делит \(O_1O_2\) в отношении \(r:s\), значит \(T=\left(\frac{rd}{r+s},\frac{2rs}{r+s}\right)\). Тогда скалярное произведение \(\overrightarrow{TA}\cdot\overrightarrow{TB}\) равно \(\frac{rs(4rs-d^2)}{(r+s)^2}=0\). Следовательно, \(TA\perp TB\).
Хорошая задача на выбор координат вместо тяжёлого синтетического доказательства.