Задача
GEO-B2-M10-P020 Центр гомотетии двух окружностей
Даны две непересекающиеся окружности разных радиусов. Их общие внешние касательные касаются первой окружности в \(A,B\), а второй — в \(C,D\), причём \(A,C\) лежат на одной касательной, \(B,D\) — на другой. Докажите, что прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются на линии центров окружностей.
Вспомните внешний центр гомотетии двух окружностей.
Существует внешняя гомотетия, переводящая первую окружность во вторую; её центр \(X\) лежит на линии центров. Общая внешняя касательная переходит в себя, поэтому точка касания \(A\) переходит в точку \(C\), а \(B\) — в \(D\). Следовательно, \(A,X,C\) коллинеарны и \(B,X,D\) коллинеарны. Значит прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(X\) на линии центров.
Задача закрепляет геометрический смысл центра гомотетии.