Задача
GEO-B2-M10-P019 Чева через площади
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D,E,F\) лежат на \(BC,CA,AB\). Известно, что \([ABD]:[ACD]=2:3\), \([BCE]:[BAE]=3:4\), \([CAF]:[CBF]=2:1\). Докажите, что \(AD,BE,CF\) пересекаются в одной точке.
Преобразуйте отношения площадей в отношения отрезков на сторонах.
Так как соответствующие пары треугольников имеют общую высоту, получаем \(BD:DC=2:3\), \(CE:EA=3:4\), \(AF:FB=2:1\). Тогда \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot 2=1\). По Чеве прямые \(AD,BE,CF\) конкурентны.
Здесь метод состоит из двух шагов: площади, затем Чева.