Задача
GEO-B2-M10-P022 Ортоцентр как радикальный центр
В остроугольном треугольнике \(ABC\) построены окружности с диаметрами \(AB\), \(BC\), \(CA\). Докажите, что их радикальный центр совпадает с ортоцентром треугольника \(ABC\).
Докажите, что радикальная ось окружностей с диаметрами \(AB\) и \(AC\) является высотой из \(A\).
Для точки \(X\) степень относительно окружности с диаметром \(AB\) равна \(\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XB}\), а относительно окружности с диаметром \(AC\) равна \(\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XC}\). Равенство степеней даёт \(\overrightarrow{XA}\cdot(\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XC})=0\), то есть \(XA\perp BC\). Значит радикальная ось этих двух окружностей — высота из \(A\). Аналогично две другие радикальные оси — высоты из \(B\) и \(C\). Их общая точка — ортоцентр.
Задача соединяет окружности, скалярное произведение и радикальные оси.