Задача
GEO-B2-M10-P023 Симмедиана через площади
В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) и cevian \(AD\) к стороне \(BC\) изогональны, то есть \(\angle BAD=\angle MAC\) и \(\angle CAD=\angle MAB\). Докажите, что \(BD:DC=AB^2:AC^2\).
Сначала выразите \(BD:DC\) через площади \(ABD\) и \(ACD\), затем используйте равенство площадей \(ABM\) и \(ACM\).
Так как треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общую высоту из \(A\), то \(\frac{BD}{DC}=\frac{[ABD]}{[ACD]}\). С другой стороны, \(\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{AB\cdot AD\sin\angle BAD}{AC\cdot AD\sin\angle CAD}=\frac{AB\sin\angle BAD}{AC\sin\angle CAD}\). Медиана \(AM\) делит треугольник на равные площади, поэтому \(AB\sin\angle MAB=AC\sin\angle MAC\). По изогональности \(\sin\angle BAD=\sin\angle MAC\), \(\sin\angle CAD=\sin\angle MAB\). Следовательно, \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{\sin\angle MAC}{\sin\angle MAB}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AB}{AC}=\frac{AB^2}{AC^2}\).
Сильная смешанная задача: площади, изогональность и отношение на стороне.