Задача
GEO-B3-M01-P001 Обратная точка на луче
Инверсия имеет центр \(O\) и радиус \(6\). Точка \(A\) лежит на расстоянии \(OA=4\). Найдите \(OA^*\) и докажите, что повторная инверсия возвращает точку \(A\).
Подсказка 1. Используйте равенство \(OA\cdot OA^*=R^2\).
Подсказка 2. Для второй инверсии примените ту же формулу к \(A^*\).
E. Подробное решение. По определению инверсии \(OA\cdot OA^*=6^2=36\). Поэтому \(OA^*=9\). Точка \(A^*\) лежит на луче \(OA\). Если теперь инвертировать \(A^*\), её образ \(A^{**}\) лежит на том же луче и удовлетворяет \(OA^*\cdot OA^{**}=36\). Отсюда \(9\cdot OA^{**}=36\), значит, \(OA^{**}=4\). На луче \(OA\) есть только одна такая точка, поэтому \(A^{**}=A\).
Базовая проверка определения: ученик должен уверенно работать с произведением расстояний и понимать, что инверсия обратна сама себе.